「尤度」と「確率」の違いは何ですか?」

What is the difference between 'likelihood' and 'probability'?

尤度(Likelihood)と確率(Probability)は、データサイエンスやビジネス分野でよく使われる相互関連する用語であり、定義や用法が異なり、しばしば混同されます。この記事は、それぞれの分野での理解と応用のために、確率の定義、用法、誤解を明確にすることを目的としています。

尤度とは何ですか?

A. 尤度の定義と統計的推論における役割

尤度は、モデルや仮説が観測データに適合する度合いを示す量的評価または測定として定義することができます。また、特定のパラメータセットで所望の結果またはデータ収集を見つける確率として解釈することもできます。統計的推論において基本的な役割を果たし、尤度の究極の目的は、データの特性に関する結論を出すことです。同じことを達成するための役割は、パラメータ推定を通じて見ることができます。パラメータ推定には、最尤推定法(MLE)を利用してパラメータ推定を行います。

仮説検定では、尤度比を使用して帰無仮説を評価します。同様に、モデル選択とチェックには尤度が貢献します。研究者は、モデル選択の測定として、ベイズ情報量規準(BIC)と赤池情報量規準(AIC)を一般的に使用します。尤度ベースの方法は、パラメータを推定するための信頼区間の構築に重要な役割を果たします。

B. 尤度関数を用いた尤度の計算

尤度関数は、データ分布を特定するのに役立つ数式表現です。関数は、尤度(|x)と表記され、|は所望のモデルのパラメータを表し、Xは観測されたデータを表します。

例を挙げて説明しましょう。たとえば、色つきのビー玉の入った袋があるとします。赤いビー玉を取り出す確率を予測したいとします。ランダムに引くことから始め、色を記録し、次に上記の式を使用して尤度を計算します。赤いビー玉を引く確率を表すパラメータを計算または推定します。先に述べたように、尤度関数を表すことにします。尤度関数は、特定の値に対して観測されたデータxを観察する確率を示すものです。

独立かつ同一に分布すると仮定すると、尤度関数は次のようになります。

L(|x)=k(1-)(n-k)、ここでnは引き出す回数、kは観測されたデータ中の赤いビー玉の数です。5回引いた場合、赤、赤、青、赤、青の順であったと仮定します。

L(0.5|x)=0.53(1-0.5)(5-3)

L(0.5|x)=0.530.52

L(0.5|x)=0.015625

したがって、= 0.5の場合、上記の玉を上記の順序で観察する尤度は0.015625です。

C. 尤度の特定の仮説やモデルに適合する度合いを示す測定としての解釈

上記の式で値を保持する場合、値の範囲は状況に応じて異なります。しかし、高い尤度値は、良好な結果と観測値と計算値の間の高い関連性を示します。

D. 尤度の概念を説明する例

コイントスの例を取り上げましょう。あなたは10回ほど公平なコインを投げます。今、コインの公平性または偏りを評価する必要があります。パラメータを設定する必要があります。8つの表と2つの裏は、コインが公平であることを示しています。高い尤度は、公平なコインを表し、公平性の仮説をさらに支持します。

ガウス分布の例を取ると、同じ分布に従う100個の測定データセットがあるとします。分布の平均値と標準偏差を知りたいとします。パラメータに基づいて異なる組み合わせが設定され、高い確率推定は、最良のガウス分布の最大尤度を示します。

確率とは何ですか?

確率の定義と確率理論におけるその重要性

確率とは、モデルパラメータに従って予測される特定の結果の発生可能性またはチャンスを指します。確率測定は、不確実な事象の可能性を予測し理解するための枠組みを提供します。確率理論において、異なる結果の尤度を比較することで不確実性を量子化することができます。予測モデリングにおいて、確率理論を使用して信頼区間を構築し、確率的な予測を行い、仮説検定を実行します。

さらに、ランダム性と確率過程は、ランダム現象を分析しモデル化する必要があるため、確率論に依存しています。ここでは、確率は複雑なシステムのシミュレーションと理解に使用されます。また、不確実性と論理的整合性の分析に重要な公理、規則、定理は確率によって提供されます。

確率質量関数(PMF)または確率密度関数(PDF)を使用した確率の計算

PMFは、一定の有限変数集合から所望の値を見つける確率を計算します。それはP(X = x)として表され、xはランダム変数の特定の値です。PMFでは、xの値は非負であり、xの可能な値に基づいて確率の合計は1になります。

PDFは広範囲をカバーし、特定の値を見つける確率または特定の値の範囲に入る確率を示します。ここでは、式はf(x)として表されます。再び、確率密度関数は非負であり、曲線によってカバーされる面積は1に等しくなります。

確率のコンセプトを示す例

コイントスの例でも確率を理解しましょう。コイントスでは、表か裏の2つの結果しか得ることができません。したがって、それぞれの確率は0.5であり、確率の合計は1になります。つまり、すべての可能な結果を示します。

もう1つの例は、6面ダイスを使ったダイスロールです。ダイスで特定の数字を取得する確率は16であり、確率の合計は(616)= 1になります。

データサイエンスにおける尤度と確率の比較

パラメータ推定、モデル選択、および仮説検定における尤度の使用

パラメータ推定では、最大尤度推定(MLE)または尤度関数として知られるものを使用して、パラメータの値を見つけます。値は観測データの最大尤度に従います。モデル選択では、尤度は異なるモデルを比較して最適なフィットを見つけます。技術の例には、尤度比検定とベイズ情報量基準(BIC)があります。仮説検定は、異なる仮説に基づいてデータをチェックします。また、比較は含まれますが、モデル選択とは異なります。

予測モデリング、ベイジアン推論、および不確実性量子化における確率の利用

予測モデリングはビジネスでよく行われます。確率は、将来の計画と戦略のための論理的な予測を提供することにより、重要な役割を果たします。異なるアルゴリズムを介して条件付き確率をモデル化することによって、分類に役立ちます。さらに、不確実性モデリングにおいても、回帰分析に応用されます。このような取り組みの共通技術には、ナイーブベイズ分類器やロジスティック回帰があります。また、ベイジアン回帰手法を使用して、入力特徴に基づいてターゲット変数の事後分布を見つけることができます。時間系列予測では、自己回帰和分移動平均(ARIMA)または状態空間モデルを使用して、将来の予測の不確実性を計算します。異常検出は、正常または予想される動作の確率分布を使用する他の予測モデリングです。ここでは、ガウス混合モデルや隠れマルコフモデルが重要な役割を果たします。

ベイジアン推論は、既存のデータを更新するために確率を結び付け、先行知識と観測データを組み合わせて事後確率を生成することができます。この方法は信念の更新と不確実性の改善に役立ち、柔軟性と直感性に関連しています。これらの役割の他に、事後分布の要約はパラメータ推定の役割を示します。上記の役割と同様に、ベイズ推論では、仮説検定、モデル選択、比較に確率を使用します。

不確実性量子化は、予測とモデルパラメータの評価と量子化に焦点を当てています。予測と信頼区間を定義するために、モンテカルロシミュレーションやブートストラップ法を使用します。確率モデリングやリスクアセスメントにも使用されます。信頼性分析では、システムやコンポーネントの失敗または成功の確率を評価するために使用されます。設計最適化では、確率的な目的と制約を考慮して、不確実性を設計プロセスに組み込むことがあります。確率分布は、入力変数の不確実性と最適化アルゴリズムをモデル化して、不確実性を考慮して設計の最大または最小性能尺度を見つけるために使用されます。

尤度と確率の統合:統計学習アルゴリズムおよび確率グラフィカルモデルにおける応用

確率グラフィカルモデルは、一連のランダム変数の確率分布に適しており、尤度はパラメータ推定に適しています。予測ベースの分析では、既に利用可能な確率をベイジアンフレームワークなどの確率グラフィカルモデルと組み合わせて使用します。尤度と組み合わせると、ベイズ学習は事前信念をさらに更新し、新しい信念と組み合わせた新しい分析結果を生成します。これにより、リスクアセスメントでの尤度と確率の適用が可能になります。

統計的学習方法には、最尤推定、ニューラルネットワーク、サポートベクターマシンが含まれます。これらは主に尤度計算を使用して目的関数を最適化します。この組み合わせは、決定境界と最適なモデルパラメータを見つけるための目的に役立ちます。

一般的な誤解と落とし穴

A. データサイエンスの文脈での尤度と確率に関する一般的な誤解の解消

一般的な誤解の1つに、尤度と確率を同じものだと思い込むことがあります。しかし、尤度と確率は異なる概念であり、尤度は主にモデル選択とパラメータ推定に関わります。一方、確率は不確実性の定量化と予測モデリングに重点を置いています。

別の誤解は、尤度が真の仮説の確率を表すと思い込むことです。尤度は、データが特定の仮説やモデルにどの程度適合しているかの質を示します。これはパラメータと観測データの関係についてです。

B. 交換可能性と適切な使用に関する誤解の解消

交換可能性に関しては、両方の用語が交換可能だと考える人がいますが、実際にはそうではありません。たとえば、リスク評価における尤度と確率は同じですが、異なる側面があります。尤度はパラメータ値と観測データの関係を示します。一方、確率はイベントの発生可能性です。使用方法も異なり、尤度は主に予測とパラメータ推定に適していますが、確率は将来のイベントを予測するためにより適しています。

エンドノート

尤度と確率は異なる概念です。使用方法やアプリケーションも異なり、特定の結果を見つけるために使用される技術も異なります。後者はイベントの発生に焦点を置いていますが、前者は観測データのモデルパラメータを見つけるために主に関連しています。両方とも現在の産業において重要であり、リスク評価において尤度と確率の適用を適切に行うことは、ビジネスの成長にとって重要です。

よくある質問

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