グラフが与えられたときの関数の微分可能性

関数の微分可能性

関数を考えます:

そのグラフは次のようになります:

ある点での関数の導関数は、その点における接線の傾きです。この関数の場合、導関数は定義域内のすべての点xで存在します。しかし、これはすべての関数に当てはまるわけではありません。導関数が定義域内のすべての点で存在しない関数もあります。この記事では、導関数を持たない3つのタイプの点について見ていきます。

関数は、定義域内のすべての点xで導関数が存在する場合に形式的に微分可能と定義されます。つまり、定義域内の各点で一意な値を計算できる場合、それは微分可能と呼ばれます。

関数は、鉛筆を紙から離さずにグラフを描くことができる場合に連続とされます。

関数f(x) = |x|を考えましょう。次のように定義されます:

そのグラフは次のように描かれます:

これは連続関数です。x=0で接線を引いてみましょう。次のように引くことができます(赤い線が接線です):

しかし、x=0で別の接線も引くことができます:

この直線も関数に一点で接します、つまりx=0です。したがって、これは確かに接線です。実際、この関数では、x=0で複数の接線が可能です:

これは、x=0で接線の傾きに一意な値がないことを意味します。

それでは、極限の計算を見てみましょう。

f(x)の導関数は、次の極限の値として定義されます:

片側の極限を計算してみましょう:

左側の極限:

右側の極限:

左側の極限は-1、右側の極限は1です。両者は一致しません。したがって、極限に一意な値はなく、存在しません。したがって、f(x) = |x|はx=0で微分可能ではありません。このような関数は、角(またはカスプまたは急な曲がり)を持つと言われます。このような関数は非滑らかです。このような関数の例のグラフは次のようになります:

この関数にはx=aの場所に角があります。

以下に示すような不連続な関数は、不連続点では左右の極限が一致しないため、微分不可能です:

注意:

  1. 関数が無限の値を取る点も不連続と呼ばれます。
  2. 関数の値が単一の点の場合も不連続です。以下に示すように、この関数はx=aで値2を取ります:

接線が垂直な点で関数は微分不可能です。なぜなら、その点では接線の傾きが未定義(無限大)になるためです。以下にそのような関数の例を示します(赤線はx=aでの接線です):

したがって、関数が微分不可能な3つの種類の点が存在します:

  1. 角(または尖り、急な曲がり角)
  2. 不連続(ジャンプ、無限大、点)
  3. 垂直接線(傾きが未定義)

次の関数が微分不可能な点はどこですか?

点は次のとおりです:

  1. 角 -> -3
  2. 不連続 -> -10、1、4
  3. 垂直接線 -> -8

We will continue to update VoAGI; if you have any questions or suggestions, please contact us!

Share:

Was this article helpful?

93 out of 132 found this helpful

Discover more

人工知能

「シフトのCEOであるクリス・ナーゲル – インタビューシリーズ」

クリスはSiftの最高経営責任者です彼は、Ping Identityを含むベンチャー支援および公開SaaS企業のシニアリーダーシップポジシ...

人工知能

「Kognitosの創設者兼CEO、ビニー・ギル- インタビューシリーズ」

ビニー・ギルは、複数の役職と企業を横断する多様で幅広い業務経験を持っていますビニーは現在、Kognitosの創設者兼CEOであり...

人工知能

「ジャスティン・マクギル、Content at Scaleの創設者兼CEO - インタビューシリーズ」

ジャスティンは2008年以来、起業家、イノベーター、マーケターとして活動しています彼は15年以上にわたりSEOマーケティングを...

人工知能

エンテラソリューションズの創設者兼CEO、スティーブン・デアンジェリス- インタビューシリーズ

スティーブン・デアンジェリスは、エンタラソリューションズの創設者兼CEOであり、自律的な意思決定科学(ADS®)技術を用いて...

人工知能

「クリス・サレンス氏、CentralReachのCEO - インタビューシリーズ」

クリス・サレンズはCentralReachの最高経営責任者であり、同社を率いて、自閉症や関連する障害を持つ人々のために優れたクラ...

機械学習

「Prolificの機械学習エンジニア兼AIコンサルタント、ノラ・ペトロヴァ – インタビューシリーズ」

『Nora Petrovaは、Prolificの機械学習エンジニア兼AIコンサルタントですProlificは2014年に設立され、既にGoogle、スタンフ...