線形代数の鳥瞰図:基礎

線形代数の基礎

私たちは基底を考えずに、基底を書かずに考えますが、ピンチの時にはオフィスのドアを閉めて、行列を激しく計算します。

中間の旅で作成された風景の鳥瞰図。

線形代数は、数学でできることに基盤を提供する基本的な学問です。物理学から機械学習、確率論(例:マルコフ連鎖)まで、どんな分野でも使われます。何をしているにせよ、線形代数はいつも隠れていて、事が多次元になるとすぐに飛び出してきます。私の経験では(他の人からも聞いたことがある)、これは高校と大学の間に大きなショックをもたらす要因でした。高校(インド)では、非常に基本的な線形代数(主に行列式と行列の積)に触れました。そして大学の工学教育では、突然全ての科目が固有値、ヤコビアンなどの概念に精通していることを前提にしているようで、まるでその知識を生まれながらに持っているかのようです。

このブログは、この学問で知っておくべき概念とその明らかな応用の概要を提供することを目的としています。少なくとも何も知らないことを知っているようになるためのものです(もし何かあれば)。また、人々がより深く掘り下げるためのリソースとリンクを集めるための言い訳でもあります。

I) ベクトル空間

前のセクションで述べたように、多次元になると線形代数は必ず現れます。私たちはスカラーから始めます。スカラーは単なるある種の数です。この記事では、これらのスカラーには実数と複素数を考えます。一般的に、スカラーは加算、減算、乗算、除算といった基本的な演算が定義されているオブジェクト(「体」として抽象化される)であることが求められます。さて、これらの数の集合を記述するための枠組み(次元を追加する)が必要です。これらの集合は「ベクトル空間」と呼ばれます。私たちは、ベクトル空間の要素が実数または複素数である場合(前者は後者の特殊な場合です)を考えます。結果として得られるベクトル空間はそれぞれ「実数ベクトル空間」と「複素ベクトル空間」と呼ばれます。

線形代数のアイデアはこれらの「ベクトル空間」に適用されます。最も一般的な例は、床やテーブル、コンピュータの画面などです。

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